Задача 87111

Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360^o .

Решение

Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим его плоские углы BPC , APC и APB через α1 , α2 , α3 соответственно. Через точки A , B и C , лежащие на рёбрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим еще три трёхгранных угла: ABPC – с вершиной A , BAPC – с вершиной B , CABP – с вершиной C . Обозначим углы при вершинах A и B треугольника APB через β1 и γ1 , углы при вершинах B и C треугольника BPC – через β2 и γ2 , углы при вершинах C и A треугольника CAP – через β 3 и γ 3 . Тогда

β1 + γ3 > BAC, β2 + γ1 > ABC, β3 + γ2 > ACB.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
β1 + γ1 + β2 + γ2 + β3 + γ3 > BAC + ABC + ACB = 180^o,
поэтому
BPC + APC + APB = α1 + α2 + α3 =

= 180^o - (β1 + γ1) + 180^o - (β2 + γ2) + 180^o - (β3 + γ3) =

= 540^o - (β1 + γ1 + β2 + γ2 + β3 + γ3) < 540^o - 180^o = 360^o.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7431