ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87112
Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Полярный трехгранный угол ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180o и меньше 540o .

Решение

Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим линейные углы его двугранных углов при рёбрах PA , PB и PC через α , β и γ соответственно. Поскольку каждый из них меньше 180o , их сумма меньше 540o .
Из произвольной точки M , лежащей внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры MA1 , MB1 и MC1 на грани PBC , PAC и PAB соответственно. Рассмотрим трёхгранный угол MA1B1C1 с вершиной M ( полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские углы дополняют соответствующие двугранные углы до 180o , а т.к. сумма плоских углов любого трёхгранного угла меньше 360o , то

180o-α+180o-β+180o-γ<360o,

откуда
α+β+γ>180o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7432

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .