Задача 87115

Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны по 60^o . Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB .

Решение

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 60^o . Если стороны AB и AC не равны, рассмотрим образы B1 и C1 точек B и C при симметрии относительно биссектрисы угла при вершине A . В четырёхугольнике BC1CB1

CC1 + BB1 < BC + B1C1,
а т.к. CC1 = AC , BB1 = AB и B1C1 = BC , то
AC + AB < BC + BC = 2BC.
Если AB = AC , то треугольник ABC – равносторонний, поэтому
AC + AB = 2BC.
Таким образом, если угол при вершине A треугольника ABC равен 60^o , то AC + AB 2BC . Аналогично, AC + AD 2CD и AB + AD 2BD . Сложив почленно эти три неравенства получим, что
AB + AC + AD BC + CD + DB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7435