Условие
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются
некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с
катетом 1 и противолежащим углом 30o . Найдите радиусы
сфер.
Решение
Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором 
C = 90o ,
A = 30o , BC = 1 . Тогда AB = 2 , AC = 
. Обозначим
через x , y и z радиусы сфер с центрами O1 , O2 и O3 ,
касающихся плоскости треугольника ABC в точках A , B и C соответственно
и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1).
Прямые O2B и O3C перпендикулярны плоскости треугольника ABC ,
поэтому O2B || O3C . Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим
касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O2 , O3 и прямую,
касающуюся этих окружностей в точках B и C . Поскольку BC = 1 , имеем
уравнение 2
= 1 . Аналогично 2
= 2 и 2
= .
После очевидных преобразований получим систему уравнений
Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на
третье, найдём, что
x = . Аналогично находим
y и
z .
Ответ
, 
, 
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7502 |
