Задача 87131

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30^o . Найдите радиусы сфер.

Решение

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором C = 90^o , A = 30^o , BC = 1 . Тогда AB = 2 , AC = . Обозначим через x , y и z радиусы сфер с центрами O1 , O2 и O3 , касающихся плоскости треугольника ABC в точках A , B и C соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1). Прямые O2B и O3C перпендикулярны плоскости треугольника ABC , поэтому O2B || O3C . Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O2 , O3 и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C . Поскольку BC = 1 , имеем уравнение 2 = 1 . Аналогично 2 = 2 и 2 = . После очевидных преобразований получим систему уравнений

Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что x = . Аналогично находим y и z .

Ответ

, , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7502