Задача 87144

Темы:    [ Конус ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вершина A правильной призмы ABCA1B1C1 совпадает с вершиной конуса, вершины B и C лежат на боковой поверхности конуса, а вершины B1 и C1 – на окружности его основания. Найдите отношение объёмов конуса и призмы, если AB1:AB = 5:1 .

Решение

Обозначим AB = a . Тогда AB1 = 5a . На продолжениях рёбер AB и AC за точки B и C отложим соответственно отрезки BM и CN , равные 4a . Тогда точки M и N лежат на окружности основания конуса. Пусть r – радиус основания конуса, h – его высота, V1 – объём конуса, V – объём призмы ABCA1B1C1 . Окружность основания конуса описана около равнобедренной трапеции MNB1C1 с основаниями B1C1 = a , MN = 5a и боковыми сторонами

NC1 = MB1 = = =

= = 2a.
Пусть C1K – высота трапеции. Тогда
KN = (MN - B1C1) = (5a - a) = 2a, KM = (MN + B1C1) = (5a + a) = 3a,

C1K = = = 6a, C1M = = = 3a,

sin MNC1 = = = , r = = = ,

h = = = ,

V1 = π r2h = π ()2 · = ,

V = · AA1 = · 2a = .
Следовательно,
= = π.

Ответ

π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7515