На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.

   Решение

Темы:    [ Цилиндр ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвёртая – другого основания цилиндра.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 и O4 – центры данных сфер, H – искомая высота цилиндра. Рассмотрим правильный тетраэдр O1O2O3O4 , ребро которого равно 2. Если h – его высота, то h = 2 . Следовательно,

H = h + 1 + 1 = 2 + 2.

Ответ

2 + 2 .

Источники и прецеденты использования