|
|
 |
Условие
Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует
с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Решение
Докажем, что указанная сумма равна 90o .
Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из
прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой
плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых
перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и
не параллельна этой плоскости.
Через точку A данной плоскости α проведём прямую l1 ,
параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной
прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся
прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α
и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку
A . Пусть n – произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная
прямой m . Тогда прямая n перпендикулярна двум пересекающимся прямым
p1 и m плоскости β . Значит, m β .
Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 ,
опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α .
Поэтому BM
α . Значит, AM – ортогональная проекция прямой l
на плоскость α , а BAM – угол прямой l1 с этой плоскостью.
Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α ,
то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между
прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM
находим, что
Ответ
90o .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 8196 |
