Задача 87157

Темы:    [ Конус ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

Решение

Пусть PA , PB и PC – три попарно перпендикулярные образующие конуса с вершиной P . Обозначим PA = PB = PC = a . Тогда ABC – равносторонний треугольник со стороной a , а PABC – правильная треугольная пирамида с основанием ABC . Если α – угол между её боковым ребром и высотой PO , то угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α . Далее находим:

AO = AB· = a· = , sin α = sin APO = = = ,

cos α = = , cos 2α = cos 2α - sin 2α = - = -.

Ответ

arccos (- ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7528