Задача 87160

Темы:    [ Конус ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен 60^o . Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.

Решение

Пусть плоскости оснований конусов пересекают перпендикуляр к общей касательной плоскости, проходящей через общую образующую PK конусов с общей вершиной K , в точках Q и Q1 (рис.1). Из точки Q проведём касательные к окружности основания первого конуса. Пусть они пересекают общую касательную плоскость в точках A и B . Тогда касательные к окружности основания второго конуса, проведённые из точки Q1 , пересекают общую касательную плоскость в тех же точках. Рассмотрим две треугольные пирамиды ABPQ и ABPQ1 с общим основанием ABP ("каркасы" конусов). Заметим, что искомый угол – это двугранный угол между плоскостями AQQ1 и BQQ1 , а APB – его линейный угол. Пусть O – центр основания первого конуса, r – радиус основания конуса, M – точка касания окружности основания с отрезком AQ (рис.2). Тогда

KP=2OK=2r, PQ = KP = 2r.
В прямоугольном треугольнике APQ (рис.3) известно, что PM=PK=2r , QP=2r . Обозначим AQP=ϕ . Тогда
sin ϕ = = , cos ϕ = , tg ϕ = , AP=PQ tg ϕ = 2r· = r.
Если γ – искомый угол, то
cos = = = .
Тогда sin = . Следовательно,
cos γ = cos2 - sin2 = - = .

Ответ

2 arctg = 2 arccos = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7531