ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87171
Темы:    [ Метод координат в пространстве ]
[ Расстояние от точки до плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите расстояние от точки D(1;3;2) до плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1), B(2;1;-1) и C(-2;2;0) .

Решение

Найдём координаты векторов и :

= (2-(-3); 1-0; -1-1) = (5; 1; -2),


= (-2-(-3); 2-0; 0-1) = (1; 2; -1).

Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Умножим обе части второго уравнение на -2 и результат сложим почленно с первым. Получим уравнение 3a - 3b = 0 . Положим a = b = 1 . Тогда c = a + 2b = 3 . Через точку A проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (1; 1; 3) :
x + 3 + y + 3(z - 1) = 0, или x + y + 3z = 0 .

Пусть ρ – расстояние от точки D(x0;y0;z0) до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0 . Тогда
ρ = .

В нашем случае
ρ = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7545

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .