Задача 87171

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние от точки до плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояние от точки D(1;3;2) до плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1), B(2;1;-1) и C(-2;2;0) .

Решение

Найдём координаты векторов и :

= (2-(-3); 1-0; -1-1) = (5; 1; -2),

= (-2-(-3); 2-0; 0-1) = (1; 2; -1).
Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Умножим обе части второго уравнение на -2 и результат сложим почленно с первым. Получим уравнение 3a - 3b = 0 . Положим a = b = 1 . Тогда c = a + 2b = 3 . Через точку A проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (1; 1; 3) :
x + 3 + y + 3(z - 1) = 0, или x + y + 3z = 0 .
Пусть ρ – расстояние от точки D(x0;y0;z0) до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0 . Тогда
ρ = .
В нашем случае
ρ = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7545