Задача 87174

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол между прямой пересечения плоскостей 2x - y - 3z + 5 = 0 и x + y - 2 = 0 и плоскостью, проходящей через точки M(-2;0;3) , N(0;2;2) и K(3;-3;1) .

Решение

Сначала найдём направляющий вектор прямой пересечения данных плоскостей. Для этого положим x = t и решим относительно y и z систему уравнений

Получим
x = t, y = 2 - t, z = 1 + t.
Значит, вектор = (1;-1;1) параллелен прямой пересечения данныхплоскостей. Затем найдём вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки M(-2;0;3), N(0;2;2) и K(3;-3;1) . Вычислим координаты векторов и :
= (0-(-2); 2-0; 2-3) = (2; 2; -1),

= (3-(-2); -3-0; 1-3) = (5; -3; -2).
Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Умножим обе части первого уравнение на -2 и результат сложим почленно со вторым. Получим уравнение a - 7b = 0 . Положим b = 1 . Тогда a = 7 , c = 2a + 2b = 16 . Пусть ϕ – угол между векторами = (1;-1;1) и = (7;1;16) . Тогда
cos ϕ = = =

= = .
Если α – угол указанной прямой с плоскостью MNK , то
sin α = | cos ϕ | = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7548