Задача 87177

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Параметрические уравнения прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через точку M(-2;0;3) проведите прямую, пересекающую прямые

и

Решение

Через точку M(-2;0;3) и первую прямую проведём плоскость α . Для этого возьмём на этой прямой какую-нибудь точку, например, A(2;3;-2 ), найдём вектор = (a; b; c) , перпендикулярный направляющему вектору = (-1; 0; 1) и вектору = (4; 3;-5) , и решим систему уравнений

или

Положим a = c = 3 . Тогда b = (-4a + 5c) = 1 . Значит, уравнение искомой плоскости имеет вид
3(x + 2) + y + 3(z - 3) = 0, или 3x + y + 3z - 3 = 0.
Найдём параметрические уравнения второй из данных прямых. Для этого положим x = t и решим относительно y и z систему уравнений

Умножив обе части первого уравнения на -2 и сложив почленно результат со вторым уравнением, получим, что y = 5t - 7 . Значит,
z = 2t - 4 - 2y = 2t - 4 - 10t + 14 = -8t + 10.
Поэтому в качестве направляющего вектора второй прямой можно взять вектор = (1;5;-8) . Через точку M(-2;0;3) и вторую прямую проведём плоскость β . Для этого возьмем на второй прямой какую-нибудь точку, например, B(0;-7;10) , найдём вектор = (p;q;r) , перпендикулярный направляющему вектору = (1; 5;-8) и вектору = (2; -7;7) , и решим систему уравнений

или

Умножим обе части первого уравнения на -2 и результат почленно сложим со вторым. Получим -17q + 23r = 0 . Положим q = 23 . Тогда r =17 , p = 8r - 5q = 21 . Значит, уравнение плоскости β имеет вид
21(x + 2) + 23y + 17(z - 3) = 0, или21x + 23y + 17z - 9 = 0.
Искомая прямая есть пересечение плоскостей α и β :

Найдем её параметрические уравнения. Для этого положим y = -3t и решим относительно x и z систему уравнений

Получим, что x = 13t - 2 , z = 3 - 12t .

Ответ

x = -2 + 13t , y = -3t , z = 3 - 12t .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7551