Задача 87178

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами α и β . Найдите угол между этими диагоналями.

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Пусть AD1 и DC1 – указанные диагонали. Тогда AD1A1 = α , DCD1 = β . Выберем систему координат с началом в точке A . Ось x направим по лучу AB , ось y – по лучу AD , ось z – по лучу AA1 . Пусть AB = 1 . Тогда

AA1 = DD1 = D1C1 tg β = tg β, AD = A1D1 = AA1 ctg α = tg β ctg α.
Тогда координаты концов отрезков AD1 и DC1 таковы:
A(0; 0; 0), D1(0; tg β ctg α; tg β),

D(0; tg β ctg α;0), C1 (1; tg β ctg α; tg β).
Пусть ϕ – угол между векторами = (0; tg β ctg α; tg β) и =(1;0; tg β) . Тогда
cos ϕ = = =

= = = sin α sin β.
Если γ – угол между указанными прямыми, то
cos γ = | cos ϕ | = sin α sin β.

Ответ

arccos ( sin α sin β) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7552