Задача 87183

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC .

Решение

Найдём координаты векторов и :

=(-2-1; 2-0; 1-1) = (-3; 2; 0),

=(2-1; 0-0; 3-1) = (1; 0; 2).
Пусть =(a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC . Тогда · = 0 и · = 0 , или

Положим c = -1 . Тогда a = 2 , b = a = 3 . Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости ABC , вектор перпендикулярен также искомой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку D(0;4;-2) перпендикулярно вектору =(2; 3; -1) имеет вид
2x + 3(y - 4) - (z + 2) = 0, или 2x + 3y - z - 14 = 0.

Ответ

2x + 3y - z - 14 = 0 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7572