Задача 87188

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Параметрические уравнения прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые AB и CD .

Решение

Через точку O (0;0;0) и прямую AB проведём плоскость α . Пусть =(a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости α . Тогда · = 0 и · = 0 , или

Положим a = 2 . Тогда c = -2 , b = (2a - c) = 3 . Значит, уравнение плоскости α имеет вид 2x + 3y - 2z = 0 . Через точку O (0;0;0) и прямую CD проведём плоскость β . Пусть =(p; q; r) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости β . Тогда · = 0 и · = 0 , или

Положим p = 3 . Тогда r = -2 , q = r =-1 . Значит, уравнение плоскости β имеет вид 3x - y - 2z = 0 . Искомая прямая есть пересечение плоскостей
2x + 3y - 2z = 0 и3x - y - 2z = 0.
Найдём её параметрические уравнения. Для этого положим x = 8t и решим относительно y и z систему уравнений

Получим, что y = 2t , z = 11t . Таким образом, параметрические уравнения искомой прямой l имеют вид
x = 8t, y = 2t, z = 11t.
Прямая l лежит в одной плоскости с прямой AB и не параллельна прямой AB , т.к. направляющий вектор прямой l (его координаты – (-8;2;11) ) неколлинеарен вектору =(-3;2;0) . Значит, прямые l и AB пересекаются. Аналогично проверим, что прямые l и CD также пересекаются.

Ответ

x = 8t , y = 2t , z = 11t .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7577