Условие
Докажите, что две плоскости перпендикулярны тогда и только
тогда, когда одна из них проходит через прямую, перпендикулярную
другой.
(Определение.}Две плоскости называются перпендикулярными, если
угол между ними равен
90
o ).
Решение
Необходимость.}Пусть плоскости
α и
β перпендикулярны. Это
значит, что двугранный угол, образованный ими, – прямой. Через
точку
M , расположенную на прямой
c пересечения плоскостей
α и
β ,
проведём в плоскостях
α и
β прямые соответственно
MA и
MB ,
перпендикулярные прямой
c . Тогда
AMB – линейный угол
двугранного угла, образованного плоскостями
α и
β . По условию
AMB = 90
o , поэтому прямая
AM , лежащая в плоскости
α ,
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
c и
MB плоскости
β .
Следовательно, плоскость
α проходит через прямую
MA , перпендикулярную
плоскости
β .
Достаточность.}Пусть прямая
a , лежащая в плоскости
α ,
перпендикулярна плоскости
β , а плоскости
α и
β пересекаются по
прямой
c . Через точку
M пересечения прямых
a и
c проведём в
плоскости
β прямую
MB , перпендикулярную прямой
c . Возьмём на прямой
a точку
A , отличную от
M . Так как прямая
AM перпендикулярна
плоскости
β , то
AM 
c и
AM BM . Кроме того,
AMB – линейный
угол двугранного угла, образованного плоскостями
α и
β . Поскольку
AMB = 90
o , плоскости
α и
β перпендикулярны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7710 |
