Условие
Через точку, лежащую в одной из двух перпендикулярных
поскостей, проведена прямая, перпендикулярная второй плоскости.
Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.
Решение
Пусть перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по
прямой c , а прямая, проходящая через точку M плоскости α
перпендикулярно плоскости β , пересекает плоскость α в
точке K . Предположим, что точка K не лежит на прямой c . Поскольку
прямая MK перпендикулярна плоскости β , прямые MK и c
перпендикулярны. Проведём через прямую MK плоскость γ ,
перпендикулярную прямой c . Пусть P – точка пересечения плоскости
γ с прямой c . Тогда MPK – линейный угол двугранного угла,
образованного плоскостями α и β . По условию 
MPK
= 90o , а т.к. MK 
β , то MKP = 90o .
Таким образом через точку M в плоскости γ проведены две
различные прямые, перпендикулярные прямой PK , что невозможно.
Следовательно, точка K лежит на прямой c , а прямая a лежит в
плоскости α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7713 |
