Условие
Через точку, лежащую в одной из двух перпендикулярных
поскостей, проведена прямая, перпендикулярная второй плоскости.
Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.
Решение
Пусть перпендикулярные плоскости
α и
β пересекаются по
прямой
c , а прямая, проходящая через точку
M плоскости
α
перпендикулярно плоскости
β , пересекает плоскость
α в
точке
K . Предположим, что точка
K не лежит на прямой
c . Поскольку
прямая
MK перпендикулярна плоскости
β , прямые
MK и
c
перпендикулярны. Проведём через прямую
MK плоскость
γ ,
перпендикулярную прямой
c . Пусть
P – точка пересечения плоскости
γ с прямой
c . Тогда
MPK – линейный угол двугранного угла,
образованного плоскостями
α и
β . По условию
MPK
= 90
o , а т.к.
MK 
β , то
MKP = 90
o .
Таким образом через точку
M в плоскости
γ проведены две
различные прямые, перпендикулярные прямой
PK , что невозможно.
Следовательно, точка
K лежит на прямой
c , а прямая
a лежит в
плоскости
α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7713 |
