Задача 87251

Темы:    [ Объем параллелепипеда ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b , острый угол между ними равен 60^o . Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , перпендикулярными плоскости основания ABCD , причём AB = a , AD = b , BAD = 60^o . Тогда AC – большая диагональ параллелограмма ABCD , а BD1 – меньшая диагональ параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , т.к. ортогональная проекция BD наклонной BD1 меньше ортогональной проекции AC наклонной CA1 на плоскость основания ABCD . По условию задачи BD1 = AC . По теореме косинусов из треугольников ABC и ABD находим, что

AC2 = AB2 + BC2 - 2AB· BC cos ABC = a2 + b2 - 2ab cos 120^o =

= a2 + b2 + ab,

BD2 = AB2 + AD2 - 2AB· AD cos BAD = a2 + b2 - 2ab cos 60^o =

= a2 + b2 - ab.
Из прямоугольного треугольника BB1D находим высоту BB1 параллелепипеда:
BB1 = = =

= = .
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· BB1 = ab sin 60^o · = ab.

Ответ

ab .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7722