Задача 87261

Темы:    [ Тетраэдр и пирамида ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 6, 5 и 5. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью её основания углы 45^o . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – данная треугольная пирамида с вершиной D , AB = AC = 5 , BC = 6 , O – основание высоты, опущенной из вершины D . Опустим перпендикуляры OA1 , OB1 и OC1 на прямые BC , AC и AB соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах DA1 BC , DB1 AC и DC1 AB , значит, DA1O , DB1O и DC1O – линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью её основания. По условию задачи

DA1O = DB1O = DC1O = 45^o.
Поэтому прямоугольные треугольники DA1O , DB1O и DC1O равны по катету и острому углу. Значит, OA1 = OB1 = OC1 , т.е. точка O равноудалена от прямых BC , AC и AB . Следовательно, точка O – либо центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.1), либо центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника (рис.2). Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC , r – радиус окружности. Тогда r = , где S – площадь треугольника, p – его полупериметр. Так как AA1 – высота треугольника ABC , то
AA1 = = = 4, S = BC· AA1 = · 6· 4 = 12, r = = = .
Из прямоугольного треугольника DA1O находим, что
DO = OA1 = r = .
Следовательно,
V_ABCD = S· DO = · 12· = 6.
Если O_a – центр окружности касающейся стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC , а r_a – её радиус, то
r_a = = = 6, DO_a = OA_a = r1 = 6, V_ABCD = S· DO_a = · 12· 6 = 24.
Если O_b – центр окружности касающейся стороны AC треугольника ABC и продолжений сторон AB и BC , а r_b – её радиус, то
r_b = = = 4, DO_b = OA_a = r_b = 4, V_ABCD = S· DO_b = · 12· 4 = 16.
Если O_c – центр окружности касающейся стороны AB треугольника ABC и продолжений сторон AC и BC , а r_c – её радиус, то
r_c = r_b = 4, V_ABCD = 16.

Ответ

6; 24; 16; 16.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7732