Задача 87269

Тема:    [ Перпендикулярные плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что прямая пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей, перпендикулярна третьей плоскости.

Решение

Докажем сначала, что перпендикуляр, опущенный из произвольной точки одной из двух перпендикулярных плоскостей на вторую плоскость, лежит в первой плоскости. Пусть перпендикулярные плоскости α и γ пересекаются по прямой c (рис.1), а прямая, проходящая через точку M плоскости α перпендикулярно плоскости γ , пересекает плоскость γ в точке K . Предположим, что точка K не лежит на прямой c . Поскольку прямая MK перпендикулярна плоскости γ , прямые MK и c перпендикулярны. Проведём через прямую MK плоскость ϕ , перпендикулярную прямой c . Пусть P – точка пересечения плоскости ϕ с прямой c . Тогда MPK – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и γ . По условию MPK = 90^o , а т.к. MK γ , то MKP = 90^o . Таким образом через точку M в плоскости ϕ проведены две различные прямые, перпендикулярные прямой PK . Что невозможно. Следовательно, точка K лежит на прямой c , а прямая MK лежит в плоскости α . Пусть теперь плоскости α и β , пересекающиеся по прямой a , перпендикулярны плоскости γ (рис.2). Через произвольную точку A прямой a проведём прямую a1 , перпендикулярную плоскости γ . По доказанному, прямая a1 лежит и в плоскости α , и в плоскости β . Поэтому прямая a1 совпадает с прямой a пересечения плоскостей α и β . Следовательно, a γ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7740