Задача 87272

Темы:    [ Призма (прочее) ] [ Круглые тела (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание призмы ABCA1B1C1 – равносторонний треугольник ABC со стороной a . Ортогональная проекция вершины A1 совпадает с центром основания ABC , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите боковую поверхность призмы.

Решение

Пусть O – центр основания ABC данной призмы ABCA1B1C1 , M и K – середины рёбер BC и AB соответственно, S – боковая поверхность призмы. Поскольку O – ортогональная проекция вершины A1 на плоскость основания ABC , OA – ортогональная проекция бокового ребра AA1 на эту плоскость. Поэтому A1AM – угол бокового ребра AA1 с плоскостью основания ABC . По условию задачи A1AM = 60^o . Из прямоугольного треугольника A1AM находим, что

AA1 = = · = · a· 2 = a,

OA1 = OA tg A1AM = a tg 60^o = a· = a.
Так как AM BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AA1 BC , а т.к. BB1|| AA1 , то BB1 BC . Значит, BB1C1C – прямоугольник. Поэтому
S_BB1C1C = BC· BB1 = a· a = a2.
Поскольку OK – ортогональная проекция отрезка A1K , то по теореме о трёх перпендикулярах A1K AB . Значит, A1K – высота параллелограмма AA1B1B . Из прямоугольного треугольника A1KO находим, что
A1K = = = .
Поэтому
S_AA1B1B = AB· A1K = a· = .
Аналогично находим, что S_AA1C1C = . Следовательно,
S = S_BB1C1C + S_AA1B1B + S_AA1C1C = a2 + 2· =

= a2 + = + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7743