ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87272
Темы:    [ Призма (прочее) ]
[ Круглые тела (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание призмы ABCA1B1C1 – равносторонний треугольник ABC со стороной a . Ортогональная проекция вершины A1 совпадает с центром основания ABC , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите боковую поверхность призмы.

Решение

Пусть O – центр основания ABC данной призмы ABCA1B1C1 , M и K – середины рёбер BC и AB соответственно, S – боковая поверхность призмы. Поскольку O – ортогональная проекция вершины A1 на плоскость основания ABC , OA – ортогональная проекция бокового ребра AA1 на эту плоскость. Поэтому A1AM – угол бокового ребра AA1 с плоскостью основания ABC . По условию задачи A1AM = 60o . Из прямоугольного треугольника A1AM находим, что

AA1 = = · = · a· 2 = a,


OA1 = OA tg A1AM = a tg 60o = a· = a.

Так как AM BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AA1 BC , а т.к. BB1|| AA1 , то BB1 BC . Значит, BB1C1C – прямоугольник. Поэтому
SBB1C1C = BC· BB1 = a· a = a2.

Поскольку OK – ортогональная проекция отрезка A1K , то по теореме о трёх перпендикулярах A1K AB . Значит, A1K – высота параллелограмма AA1B1B . Из прямоугольного треугольника A1KO находим, что
A1K = = = .

Поэтому
SAA1B1B = AB· A1K = a· = .

Аналогично находим, что SAA1C1C = . Следовательно,
S = SBB1C1C + SAA1B1B + SAA1C1C = a2 + 2· =


= a2 + = + = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7743

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .