Задача 87286

Темы:    [ Правильная призма ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45^o . Площадь сечения равна S . Найдите объём призмы.

Решение

Пусть указанная плоскость проходит через сторону AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и через вершину C1 основания A1B1C1 . Если CK – высота равностороннего треугольника ABC со стороной a , то по теореме о трёх перпендикулярах C1K AB , поэтому CKC1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и основания призмы. По условию CKC1 = 45^o . Поскольку треугольник ABC – ортогональная проекция треугольника ABC1 на плоскость основания призмы,

S_{Δ ABC} = S_{Δ ABC}1 cos CKC1 = ,
а т.к. S_{Δ ABC} = , то из уравнения = , находим, что a = . Далее имеем:
CK = = , CC1= CK = ,

V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· CC1 = · = S· .

Ответ

Sof6 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7757