Задача 87315

Темы:    [ Сфера, вписанная в двугранный угол ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана правильная треугольная пирамида SABC ( S – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b . Первая сфера с центром в точке O1 касается плоскостей SAB и SAC в точках B и C , а вторая сфера с центром в точке O2 касается плоскостей SAC и SBC в точках A и B . Найдите объём пирамиды SO1BO2 .

Решение

Пусть плоскость, проходящая через точки B , C и O1 , пересекает боковое ребро AS пирамиды SABC в точке P (рис.1). Прямые O1B и O1C перпендикулярны плоскостям соответственно ASB и ASC как радиусы, проведённые в точки касания сферы с центром O1 с этими плоскостями. Поэтому прямая AS перпендикулярна проведённой плоскости (рис.2). Значит, BP AS и CP AS , а BPC – линейный угол двугранного угла между плоскостями боковых граней ASB и ASC . Положим BPC = 2α , O1B = O1C = R . Тогда O1PB = O1PC = α . Если M – точка пересечения отрезков O1P и BC , то M – середина стороны BC равностороннего треугольника ABC и O1BM = O1PB = α . Поэтому

R = O1B = = .
Аналогично находим, что радиус второй сферы также равен . Рассмотрим сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки A , M и S . Пусть K – центр треугольника ABC . В треугольнике AMS известно, что
AS = b, AM = , AK = .
Поэтому
SK = = ,

PM = = = .
Из прямоугольного треугольника BMP находим, что
tg α = tg BPM = = = .
Поскольку SB O1B и SB O2B , ребро SB – высота треугольной пирамиды SO1BO2 . Основание этой пирамиды – равнобедренный треугольник O1BO2 , боковые стороны которого равны R , а угол между ними равен 180^o - 2α , т.к. его стороны соответственно перпендикулярны боковым граням BSC и ASB правильной пирамиды SABC . Следовательно,
V_SO1BO2 = S_{Δ O}1BO2· SB = · O1B· O2B sin (180^o - 2α)· SB =

= R2 sin 2α · b = b· · sin 2α · b =

= b· 2 sin α cos α · = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7786