Задача 87319

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В четырёхугольной пирамиде OABCD основанием является трапеция ABCD , а боковые грани OAD и OBC перпендикулярны основанию. Площадь грани OAB равна 9, площадь грани OCD равна 20, ребро AB равно 3, ребро CD равно 5. Найдите объём пирамиды.

Решение

Предположим, что AD || BC . Поскольку плоскости боковых граней OAD и OBC перпендикулярны плоскости основания, в каждой из плоскостей OAD и OBC содержится по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Эти две прямые параллельны, т.к. обе они перпендикулярны одной и той же плоскости. Тогда две пересекающиеся прямые плоскости OAD соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости OBC . Значит, плоскости OAD и OBC параллельны, что противоречит условию ( O – общая точка этих плоскостей). Следовательно, AB и CD – основания трапеции ABCD , а AD и BC – её боковые стороны. Поскольку каждая из плоскостей OAD и OBC перпендикулярна плоскости ABCD , прямая пересечения плоскостей OAD и OBC перпендикулярна плоскости ABCD . Поэтому, если H – точка пересечения этой прямой с плоскостью ABCD , то OH – высота данной пирамиды. Пусть OM – высота треугольника AOB . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HM AB , т.е. HM – высота треугольника HAB , а т.к. CD || AB , то HM CD . Пусть прямые HM и CD пересекаются в точке N . Тогда HN CD и ON CD , т.е. ON – высота треугольника OCD . Треугольники HAB и HDC подобны с коэффициентом . Пусть HM = 3x . Тогда HN = 5x , MN = HN - HM = 2x , причём MN – высота трапеции ABCD . В прямоугольном треугольнике OHN известно, что

ON = 2· = 2· = 8, OM = 2· = 2· = 6,

HN = 5x, HM = 3x, ON2 - HN2 = OH2 = OM2 - HM2,
поэтому 64 - 25x2 = 36 - 9x2 , откуда x = . Значит,
OH = = = = ,

S_ABCD = (AB + CD)· MN = 4· 2x = 8x = 4.
Следовательно,
V_OABCD = S_ABCD· OH = · 4· = 6.

Ответ

6 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7790