|
|
 |
Условие
В четырёхугольной пирамиде OABCD основанием является трапеция
ABCD , а боковые грани OAD и OBC перпендикулярны основанию.
Площадь грани OAB равна 9, площадь грани OCD равна 20, ребро
AB равно 3, ребро CD равно 5. Найдите объём пирамиды.
Решение
Предположим, что AD || BC . Поскольку плоскости боковых граней
OAD и OBC перпендикулярны плоскости основания, в каждой из
плоскостей OAD и OBC содержится по прямой, перпендикулярной
плоскости основания. Эти две прямые параллельны, т.к. обе они
перпендикулярны одной и той же плоскости. Тогда две пересекающиеся
прямые плоскости OAD соответственно параллельны двум пересекающимся
прямым плоскости OBC . Значит, плоскости OAD и OBC параллельны, что
противоречит условию ( O – общая точка этих плоскостей).
Следовательно, AB и CD – основания трапеции ABCD , а AD и BC
– её боковые стороны.
Поскольку каждая из плоскостей OAD и OBC перпендикулярна
плоскости ABCD , прямая пересечения плоскостей OAD и OBC
перпендикулярна плоскости ABCD . Поэтому, если H – точка пересечения
этой прямой с плоскостью ABCD , то OH – высота данной пирамиды.
Пусть OM – высота треугольника AOB . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах HM AB , т.е. HM – высота треугольника HAB , а
т.к. CD || AB , то HM
CD . Пусть прямые HM и CD пересекаются
в точке N . Тогда HN
CD и ON
CD , т.е. ON – высота треугольника
OCD .
Треугольники HAB и HDC подобны с коэффициентом
. Пусть HM =
3x . Тогда HN = 5x , MN = HN - HM = 2x , причём MN – высота трапеции
ABCD . В прямоугольном треугольнике OHN известно, что
поэтому 64 - 25x2 = 36 - 9x2 , откуда x =
Следовательно,
Ответ
6 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7790 |
