Условие
Сфера с центром в точке O проходит через вершины A , B и C
треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямые AD , BD и CD в точках
K , L и M соответственно. Известно, что AD = 10 , BC:BD = 3:2 и
AB:CD = 4
:11 . Проекциями точки O на плоскости ABD, BCD и CAD
являются середины рёбер AB , BC и AC соответственно. Расстояние между
серединами рёбер AB и CD равно 13. Найдите периметр треугольника
KLM .
Решение
Сечение данной сферы плоскостью грани ABD есть окружность с
центром в середине отрезка AB , проходящая через точки A , B , K и L (рис.1).
Поэтому AB – диаметр этой окружности. Отрезок AB виден из точек K и
L под прямым углом, значит, AL и BK – высоты треугольника ABD .
Аналогично, BM и CL – высоты треугольника BCD , а CK и
AM – высоты треугольника ACD .
Прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и BM
плоскости ABM , поэтому прямая CD перпендикулярна этой плоскости.
Значит, CD 
AB . Аналогично, что AD BC и BD AC .
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда APBQSDRC
( AS || PD || BR || QC ), проведя через его противоположные
рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2).
Поскольку PQ || CD , то PQ AB , поэтому параллелограмм APBQ –
ромб. Аналогично, все шесть граней параллелепипеда APBQSDRC – ромбы. Значит,
все ребра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через a . По теореме о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма
AB2 + CD2 = 4a2, AC2 + BD2 = 4a2, AD2 + BC2 = 4a2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Положим
BC = 3
x ,
BD = 2
x ,
AB = 4
y ,
CD = 11
y . Поскольку
ребро параллелепипеда
APBQSDRC равно отрезку, соединяющему центры
противоположных граней,
a = 13
. Поэтому
100 + 9x2 = 4· 169, 48y2 + 121y2 = 4· 169, AC2 + 4x2 = 4· 169,
откуда находим, что
x = 8, y = 2, AC = 2
,
BC = 24, BD = 16, AB = 8, CD = 22.
Рассмотрим треугольник
ABD . Обозначим
ADB = α . Поскольку
BK и
AL – высоты треугольника
ABD , треугольник
KDL подобен треугольнику
BDA с коэффициентом
| cos α| . Поэтому
KL = AB| cos α| . По
теореме косинусов находим, что
cos α = 
=
= 
= 
.
Значит,
KL = 8
· = 
.
Аналогично находим, что
LM = BC| cos BDC| = 
=
= 
,
KM = AC· | cos ADC | = 
=
= 
.
Следовательно, периметр треугольника
KLM равен
+ 
+ =
41(
+ 
+ 
).
Ответ
41( + + ) .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7794 |
