Задача 87331

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Ортоцентрический тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?

Решение

Пусть ABC и ABD – треугольники, лежащие в перпендикулярных плоскостях, причём AC = BC , а AD BD . Тогда высота CK треугольника ABC проходит через середину отрезка AB и является высотой тетраэдра ABCD . Высота DM треугольника ABD также является высотой тетраэдра ABCD , а т.к. AD BD , то точка M отлична от середины K отрезка AB . Таким образом, прямая CK лежит в плоскости ABC , а прямая DM пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на CK . Следовательно, CK и DM – скрещивающиеся прямые.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7804