Условие
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их
продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр
ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его
противоположных рёбер перпендикулярны, т.е. AB 
CD и AD BC
(в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т.е. AC
BD ).
Решение
Достаточность. Пусть в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно
ребру CD , а ребро BC перпендикулярно ребру AD . Докажем что, ребро
AC перпендикулярно ребру BD , а высоты тетраэдра пересекаются в
одной точке.
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN
|| KD || BM || LC ), проведя через его противоположные
рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2). Поскольку KL || CD , то KL AB ,
поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично, параллелограмм
LBMC – ромб. Значит, AL = BL = LC , поэтому параллелограмм ALCN –
также ромб. Его диагонали AC и LN перпендикулярны, а т.к. LN || BD ,
то AC BD .
Так как AB CD , то высоты CC1 и DD1 тетраэдра ABCD
пересекаются (рис.1). По той же причине пересекаются высоты CC1 и BB1 , а
также высоты AA1 и CC1 . Проведём плоскость через прямые CC1
и DD1 , пересекающиеся в точке H . Если прямая AA1 пересекает прямые
CC1 и DD1 в различных точках, то она лежит в проведённой плоскости.
Аналогично для прямой BB1 . Тогда точки A , B , C и D лежат в одной
плоскости, что невозможно. Следовательно, прямые AA1 , BB1 и CC1
проходят через точку H .
Необходимость. Пусть высоты AA1 , BB1 , CC1 и DD1 тетраэдра
ABCD пересекаются в одной точке. Докажем, что противоположные рёбра
тетраэдра попарно перпендикулярны. Действительно, плоскость,
проходящая через пересекающиеся прямые BB1 и CC1 , перпендикулярна
прямой AD , поэтому AD BC . Остальное аналогично.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7807 |
