ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87334
Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны, т.е. AB CD и AD BC (в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т.е. AC BD ).

Решение

Достаточность. Пусть в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , а ребро BC перпендикулярно ребру AD . Докажем что, ребро AC перпендикулярно ребру BD , а высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2). Поскольку KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично, параллелограмм LBMC – ромб. Значит, AL = BL = LC , поэтому параллелограмм ALCN – также ромб. Его диагонали AC и LN перпендикулярны, а т.к. LN || BD , то AC BD . Так как AB CD , то высоты CC1 и DD1 тетраэдра ABCD пересекаются (рис.1). По той же причине пересекаются высоты CC1 и BB1 , а также высоты AA1 и CC1 . Проведём плоскость через прямые CC1 и DD1 , пересекающиеся в точке H . Если прямая AA1 пересекает прямые CC1 и DD1 в различных точках, то она лежит в проведённой плоскости. Аналогично для прямой BB1 . Тогда точки A , B , C и D лежат в одной плоскости, что невозможно. Следовательно, прямые AA1 , BB1 и CC1 проходят через точку H . Необходимость. Пусть высоты AA1 , BB1 , CC1 и DD1 тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке. Докажем, что противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны. Действительно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые BB1 и CC1 , перпендикулярна прямой AD , поэтому AD BC . Остальное аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7807

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .