Задача 87337

Темы:    [ Сферы (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На сфере радиуса 11 расположены точки A , A1 , B , B1 , C и C1 . Прямые AA1 , BB1 и CC1 попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M , отстоящей от центра сферы на расстояние . Найдите AA1 , если известно, что BB1=18 , а точка M делит отрезок CC1 в отношении (8 + ):(8 - ) .

Решение

Пусть CM = (8+)x , C1M = (8 -)x . Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O и прямую CC1 . Получим окружность радиуса 11 с центром O и хорду CC1 . Продолжим отрезок OM до пересечения с окружностью в точках D и E . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

CM· C1M = DM· EM, (8 + )(8 - )x2 = (11 + )(11 - ), 62x2 = 62,
откуда x = 1 . Значит,
CM = 8 + , C1M = 8 - , CC1 = 16.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через прямые CC1 и BB1 . Пусть BM = y . Тогда
B1M = BB1 - BM = 18 - y, BM· B1M = CM· C1M.
Если BM < B1M , то из уравнения
y(18 - y) = (8 + )(8 - ) = 62
находим, что BM = y = 9 - . Тогда B1M = 9 + . Пусть K и N – середины хорд CC1 и BB1 соответственно. Тогда
MK = C1K - C1M = 8 - (8 - ) = ,

MN = B1M - B1N = 9 + - 9 = .
Пусть P – ортогональная проекция центра O на плоскость прямых CC1 и BB1 . Тогда MKPN – прямоугольник. Поэтому
PM = = = .
Из прямоугольного треугольника OPM находим, что
OP = = = .
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через прямые AA1 и BB1 . Пусть Q – ортогональная проекция центра O на эту плоскость, F – середина AA1 . Обозначим AF = z . Тогда
QF = MN = , NQ = OP = , QA = QB = = = ,

AA1=AF = = = 10.
Следовательно, AA1 = 20 .

Ответ

20.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7810