Информация о задаче

Задача 87359

Тема:

[

Перпендикулярные плоскости

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основанием пирамиды ABCEH служит выпуклый четырехугольник ABCE, который диагональю BE делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра AB равна 1, длины ребер BC и CE равны между собой. Сумма длин ребер AH и EH равна $\sqrt{2}$ . Объем пирамиды равен 1/6. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде ABCEH.

Решение

Поскольку диагональ BE делит четырехугольник ABCE на два равновеликих треугольника, треугольные пирамиды ABEH и BCEH с общей вершиной H равновелики. Поэтому V(ABEH) = 1/12.

Пусть BK - высота треугольной пирамиды ABEH, проведенная из вершины B. Тогда BK $\le$ AB = 1. Поэтому

1/12 = V(ABEH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(AEH)^.BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AH^.HE^.sin $\displaystyle \angle$ AHE^.BK $\displaystyle \le$

$\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AH^.HE^.1^.1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ AH^.HE $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AH + HE))² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{2}$ ))² = 1/12.

Это возможно лишь в случае, когда

AH = HE = $\displaystyle \sqrt{2}$ /2, $\displaystyle \angle$ AHE = 90^o, BK = AB = 1,

а точка K совпадает с точкой A, т.е. AB - перпендикуляр к плоскости AHE. Поэтому AB $\perp$ AE. Так как плоскость основания проходит через перпендикуляр к плоскости грани AHE, то эти плоскости перпендикулярны, поэтому высота HM прямоугольного треугольника AHE является высотой пирамиды ABCEH.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника AHE находим, что AE = 1, HM = 1/2. Равнобедренные треугольники ABE и CBE с общим основанием BE равновелики, поэтому они равны. Следовательно, четырехугольник ABCE - квадрат со стороной, равной 1, а высота пирамиды ABCEH равна 1/2 и проходит через середину M стороны AE основания.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки H, M и середину N ребра BC. Получим прямоугольный треугольник HMN со сторонами

MN = 1, HM = 1/2, HN = $\displaystyle \sqrt{5}$ /2.

Пусть O - центр окружности, вписанной в треугольник HMN, r - ее радиус. Тогда

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (MN + HM - HN) = (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/4.

Докажем, что шар радиуса r с центром в точке O помещается в пирамиде ABCEH. Поскольку центр шара лежит в плоскости, перпендикулярной граням AHE и BHC, он касается этитх граней. Поэтому достаточно установить, что расстояния от точки O до плоскостей граней AHB и CHE не меньше r.

Через точку O проведем плоскость, параллельную грани AHE. Пусть эта плоскость пересекает ребра AB, BH, CH и CE в точках P, Q, R и S соответственно. Из теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей следует, что PQRS - равнобедренная трапеция. Пусть F - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на боковую сторону PQ этой трапеции. Тогда OF - перпендикуляр к плоскости грани AHB(OF $\perp$ PQ, OF $\perp$ AB).

Пусть L - точка касания шара с плоскостью основания пирамиды. Тогда

AP = SE = LM = r = (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/4,

PS = AE = 1,

RS = PQ = AH^.PB/AB = ( $\displaystyle \sqrt{2}$ /2)^.(1 - r)/1 = $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{5}$ + 1)/8,

QR = BC^.ML/MN = 1^.r/1 = r = (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/4.

Пусть T - середина PQ, G - основание перпендикуляра, опущенного из точкки Q на основание PC трапеции PQRS. Тогда OQ - половина средней линии трапеции, а прямоугольные треугольники OFT и QGP - подобны. Поэтому

OT = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (PS + QR) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (1 + (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/4) = (7 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/16,

QG = 2r = (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/2,

OF = QG^.OT/PQ = ((3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/2)^.((7 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/16)/( $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{5}$ + 1)/8) =

= (9 $\displaystyle \sqrt{5}$ - 19)/(4 $\displaystyle \sqrt{2}$ ) > (3 - $\displaystyle \sqrt{5}$ )/4.

Аналогично докажем, что расстояние от точки O до плоскости грани CHE также меньше r. Таким образом, радиус наибольшего шара помещающегося в пирамиде ABCEH, равен ( 3 - $\sqrt{5}$ )/4.

Ответ

${\frac{1}{4}}$ (3 - $\sqrt{5}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7832