Задача 87375

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сфера касается рёбер AS , BS , BC и AC треугольной пирамиды SABC в точках K , L , M и N соответственно. Найдите отрезок KL , если MN = 7 , NK = 5 , LN = 2 и KL = LM .

Решение

Докажем, что точки K , L , M и N лежат в одной плоскости (рис.1). Обозначим

AK = AN = a, BL = BM = b, CM = CN = c, SK = SL = d.
Если c = d , то прямые KN и LM параллельны прямой SC , поэтому KN || LM . Значит, точки K , L , M и N лежат в одной плоскости. Пусть c < d . Тогда на отрезке KS есть точка K1 , для которой KK1=c , а на отрезке SL – точка L1 , для которой LL1 = c . При этом AK1=AC и BL1 = BC , поэтому NK || CK1 и ML || CL1 . Значит, прямые KN и LM пересекают прямую SC соответственно в точках P и Q , расположенных на продолжении ребра SC за точку C . Тогда
= = , = = ,

CP = SC· = CQ,
т.е. точки P и Q совпадают. Поэтому KN и LM – пересекающиеся прямые. Аналогично для случая, когда c > d . Следовательно, точки K , L , M и N лежат в одной плоскости. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы этой плоскостью (рис.2). Получим четырёхугольник KLMN , вписанный в окружность. Обозначим KL = LM = x , NKL = α . Тогда NML = 180^o - α . Далее имеем:

Вычитая почленно первое уравнение из второго, получим, что x cos α = -1 . Тогда из первого уравнения находим, что
x2 = 116 - 25 - 10 = 81.
Следовательно, KL = x = 9 .

Ответ

9.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7868