ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87375
Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сфера касается рёбер AS , BS , BC и AC треугольной пирамиды SABC в точках K , L , M и N соответственно. Найдите отрезок KL , если MN = 7 , NK = 5 , LN = 2 и KL = LM .

Решение

Докажем, что точки K , L , M и N лежат в одной плоскости (рис.1). Обозначим

AK = AN = a, BL = BM = b, CM = CN = c, SK = SL = d.

Если c = d , то прямые KN и LM параллельны прямой SC , поэтому KN || LM . Значит, точки K , L , M и N лежат в одной плоскости. Пусть c < d . Тогда на отрезке KS есть точка K1 , для которой KK1=c , а на отрезке SL – точка L1 , для которой LL1 = c . При этом AK1=AC и BL1 = BC , поэтому NK || CK1 и ML || CL1 . Значит, прямые KN и LM пересекают прямую SC соответственно в точках P и Q , расположенных на продолжении ребра SC за точку C . Тогда
= = , = = ,


CP = SC· = CQ,

т.е. точки P и Q совпадают. Поэтому KN и LM – пересекающиеся прямые. Аналогично для случая, когда c > d . Следовательно, точки K , L , M и N лежат в одной плоскости. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы этой плоскостью (рис.2). Получим четырёхугольник KLMN , вписанный в окружность. Обозначим KL = LM = x , NKL = α . Тогда NML = 180o - α . Далее имеем:

Вычитая почленно первое уравнение из второго, получим, что x cos α = -1 . Тогда из первого уравнения находим, что
x2 = 116 - 25 - 10 = 81.

Следовательно, KL = x = 9 .

Ответ

9.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7868

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .