Задача 87379

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Правильная пирамида ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде AKLM известно, что AK = AL = AM , KL = LM = MK , tg AKM = . Сфера радиуса 2 касается луча LA , касается плоскости AKM и касается плоскости KLM в точке, лежащей на луче LM . Найдите наименьшее возможное значение длины отрезка LM

Ответ

. Поскольку боковые рёбра AK , AL и AM пирамиды AKLM равны, а основание KLM – равносторонний треугольник, пирамида AKLM – правильная (рис.1). Её высота, проведённая из вершины A проходит через центр Q треугольника KLM . Если K1 и L1 – середины LM и KM соответственно, то AK1Q и AL1Q – линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями ALM и AKM с плоскостью основания. Пусть сфера с центром O касается луча LM в точке P , луча LA – в точке B , а плоскости грани AKM – в точке E . Обозначим

KL = LM = MK = x, AKM = α, AK1Q = AL1Q = β.
Тогда
ALK1 = AKM = α, K1L = , K1Q = ,

AK1 = K1L tg ALK1 = · tg α = · = ,

cos β = cos AK1Q = = = , sin β = , = tg α = ,
Откуда находим, что tg = . Пусть плоскость, проходящая через перпендикуляры OP и OE к плоскостям соответственно KLM и AKM пересекает прямую KM в точке D . Тогда
ED KM, PD KM, EDP = 180^o - β, ODP = ODE = 90^o - ,

DP = OP ctg ODP = 2 tg = = = 2· = 3.
Предположим, что точка P лежит на продолжении отрезка LM за точку M . Из прямоугольного треугольника PDM находим (рис.2), что
PM = = = 2.
Пусть O1 – ортогональная проекция центра O сферы на плоскость грани ALM . Тогда O1 – центр окружности, по которой плоскость грани ALM пересекает сферу. Так как OO1 и OP – перпендикуляры к плоскостям соответственно ALM и KLM , то POO1 = β (или 180^o-β ). Из прямоугольного треугольника POO1 находим, что
PO1 = OP sin POO1 = 2 sin β = 2· = .
Так как O1P = O1B (как радиусы одной окружности), O1P LP , и O1B LB , то точка O1 равноудалена от сторон угла BLP . Значит, луч LO1 – биссектриса этого угла. Поэтому
x + 2 = LP = = = = ,
откуда
x = - 2 = .
Если же точка P лежит на отрезке LM , то, рассуждая аналогично, получим, что
x = >.
Следовательно, искомое наименьшее значение равно .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7872