Задача 87382

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Отрезок EF параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник ABCD , причём EF = 3 , BC = 5 . Все стороны прямоугольника ABCD и отрезки AE , BE , CF , DF , EF касаются некоторого шара. Найдите площадь поверхности этого шара.

Решение

Сечение сферы плоскостью прямоугольника ABCD есть окружность, вписанная в этот прямоугольник (рис.1). Значит, прямоугольник ABCD – квадрат со стороной 5, причём сфера касается его сторон в их серединах. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ABE (рис.2). Получим окружность, вписанную в треугольник ABE , причём точка M касания этой окружности со стороной AB есть точка касания сферы с этой стороной, т.е. – середина AB . Если сфера касается отрезков AE и BE в точках P и Q соответственно, то

AP = AM = , BQ = BM = , EP = EQ,
поэтому AE = BE . Значит, треугольник AEB – равнобедренный. Его медиана EM перпендикулярна стороне AB . Аналогично, медиана FN треугольника DFC перпендикулярна стороне CD . Пусть плоскость α , проходящая через пересекающиеся прямые ME и MN , пересекает плоскость DFC по прямой NF1 . Прямая AB перпендикулярна плоскости α , т.к. AB MN и AB ME . Прямые AB и CD параллельны, поэтому прямая CD также перпендикулярна поскости α . Значит, CD NF1 , а т.к. CD NF и прямые NF1 и NF лежат в плоскости DFC , то они совпадают. Следовательно, прямая NF также лежит в плоскости α . Таким образом, через прямую EF , параллельную плоскости ABCD , проходит плоскость α , пересекающая плоскость ABCD по прямой MN . Значит, EF || MN . Поскольку сфера проходит через середины G и H сторон AD и BC квадрата ABCD , её центр лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка GH перпендикулярно прямой GH , т.е. в плоскости α . Значит, радиус R сферы равен радиусу окружности, проходящей через вершины M и N трапеции MEFN и касающейся меньшего основания EF трапеции в некоторой точке K . Пусть сфера касается отрезка DF в точке L , а продолжения боковых сторон AE и DF трапеции AEFD пересекаются в точке T . Тогда TP = TL как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. Кроме того, AP = AG = DG = DL . Поэтому AT = DT , а т.к. EF || AD , то TE = TF и
KE = PE = TP - TE = TL - TF = FL = FK.
Значит, K – середина основания EF трапеции MEFN . В равнобедренном треугольнике AEB (рис.2) известно, что
AB = 5, BE = AE = AP + PE = AG + EK = + = 4,

ME = = = .
Аналогично находим, что FN = . Пусть EE1 и KK1 – высоты равнобедренной трапеции MEFN (рис.3). Тогда
ME1 = (MN - EF) = (5 - 3) = 1,

KK1 = EE1 = = = ,

MK = = = ,

sin KMK1 = = = .
Так как R – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника MKN , то
R = = = = .
Следовательно, площадь поверхности шара равна
4π R2 = 4π()2 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7877