ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87413
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Объем параллелепипеда ]
[ Боковая поверхность призмы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной a , и острым углом 30o . Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60o . Найдите полную поверхность и объём параллелепипеда.

Решение

Пусть диагональ B1C боковой грани BB1C1C данного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна плоскости основания ABCD , где ABCD – ромб со стороной a . Тогда B1C – высота параллелепипеда, а BC – ортогональная проекция бокового ребра BB1 на плоскость основания ABCD . По условию задачи B1BC = 60o . Значит,

B1C = BC tg B1BC = a.

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = SABCD· B1C = a2 sin 30o· a = .

Пусть S – полная поверхность параллелепипеда, B1K – высота грани AA1B1B . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CK – высота ромба ABCD . Поэтому
CK = BC sin 30o = , B1K = = = .

Следовательно,
S = 2(SABCD + SBB1C1C + SAA1B1B) = 2(AB· AD sin 30o + BC· B1C + AB· B1K) =


= 2( + a2 + a2) = a2(1 + 2 + ).


Ответ

a2(1 + 2 + ) ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7911

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .