Задача 87413

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Объем параллелепипеда ] [ Боковая поверхность призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной a , и острым углом 30^o . Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60^o . Найдите полную поверхность и объём параллелепипеда.

Решение

Пусть диагональ B1C боковой грани BB1C1C данного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна плоскости основания ABCD , где ABCD – ромб со стороной a . Тогда B1C – высота параллелепипеда, а BC – ортогональная проекция бокового ребра BB1 на плоскость основания ABCD . По условию задачи B1BC = 60^o . Значит,

B1C = BC tg B1BC = a.
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· B1C = a2 sin 30^o· a = .
Пусть S – полная поверхность параллелепипеда, B1K – высота грани AA1B1B . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CK – высота ромба ABCD . Поэтому
CK = BC sin 30^o = , B1K = = = .
Следовательно,
S = 2(S_ABCD + S_BB1C1C + S_AA1B1B) = 2(AB· AD sin 30^o + BC· B1C + AB· B1K) =

= 2( + a2 + a2) = a2(1 + 2 + ).

Ответ

a2(1 + 2 + ) ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7911