Задача 87417

Темы:    [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде, каждое боковое ребро которой равно a , один плоский угол при вершине прямой, а каждый из остальных равен 60^o . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – данная треугольная пирамида, в которой

AD = BD = CD = a, BDC = 90^o, ADB = ADC = 60^o.
Так как треугольники ADB и ADC равносторонние, то AB = AC = a . Боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды DABC равны между собой, поэтому высота, проведённая из вершины D , проходит через центр O окружности, описанной около треугольника ABC . Поскольку треугольник ABC равен треугольнику BDC , он – прямоугольный. Точка O – середина гипотенузы BC . Далее находим:
DO = = = ,

S_{Δ ABC} = , V_ABCD = S_{Δ ABC}· DO = · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7915