ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87421
Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ]
[ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух боковых рёбер. Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из боковых граней (укажите, какой именно).

Решение

Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной D ; M и N – середины боковых рёбер BD и CD . Предположим, что плоскость AMN перпендикулярна плоскости боковой грани ABD . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью α , проходящей через ребро AD и середину K ребра BC . Прямая BC перпендикулярна плоскости α , а прямая MN параллельна BC как средняя линия треугольника BDC . Значит, плоскость AMN содержит прямую, перпендикулярную плоскости α . Следовательно, плоскость α перпендикулярна плоскости AMN , а так как плоскости α и ABD пересекаются по прямой AD и обе эти плоскости перпендикулярны плоскости AMN , то прямая AD перпендикулярна плоскости AMN , что невозможно. Аналогично, плоскость AMN не может быть перпендикулярной плоскости ADC . Таким образом плоскость AMN перпендикулярна плоскости грани BDC . Пусть прямые MN и DK пересекаются в точке P . Тогда P – середина DK . Кроме того, AP DK . Значит, треугольник ADK – равнобедренный, AD=AK . Обозначим AKD = ϕ . Если Q – центр основания ABC и KQ = x , то

AQ = 2x, AD = AK = 3x,


DQ = = = x,


tg ϕ = = = , cos ϕ = = .

Пусть S1 – площадь боковой поверхности данной пирамиды, S – площадь её основания. Тогда
= = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7919

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .