Задача 87422

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Объем параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рёбра параллелепипеда равны a , b и c . Рёбра, равные a и b , взаимно перпендикулярны, а ребро, равное c , образует с каждым из них угол 60^o . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, в котором

AB = a, AD = b, AA1 = c,

BAD = 90^o, A1AB = A1AD = 60^o.
Из основания H высоты A1H параллелепипеда опустим перпендикуляры HP и HQ на прямые AB и AD соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A1P AB и A1Q AD . Из равенства прямоугольных треугольников A1AP и A1AQ следует, что A1P = A1Q . Поэтому HP = HQ . Значит, AH – биссектриса угла BAD . Обозначим A1AH = α . Тогда
AH = AA1 cos α = c cos α, A1H = AA1 sin α = c sin α,

AP = AA1 cos A1AP = AA1 cos 60^o = ,

AP = AH cos PAH = c cos α cos 45^o = .
Из уравнения = находим, что cos α = , откуда α= 45^o . Значит,
A1H = c sin α = .
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· A1H = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7920