ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87422
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Объем параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рёбра параллелепипеда равны a , b и c . Рёбра, равные a и b , взаимно перпендикулярны, а ребро, равное c , образует с каждым из них угол 60o . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, в котором

AB = a, AD = b, AA1 = c,


BAD = 90o, A1AB = A1AD = 60o.

Из основания H высоты A1H параллелепипеда опустим перпендикуляры HP и HQ на прямые AB и AD соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A1P AB и A1Q AD . Из равенства прямоугольных треугольников A1AP и A1AQ следует, что A1P = A1Q . Поэтому HP = HQ . Значит, AH – биссектриса угла BAD . Обозначим A1AH = α . Тогда
AH = AA1 cos α = c cos α, A1H = AA1 sin α = c sin α,


AP = AA1 cos A1AP = AA1 cos 60o = ,


AP = AH cos PAH = c cos α cos 45o = .

Из уравнения = находим, что cos α = , откуда α= 45o . Значит,
A1H = c sin α = .

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = SABCD· A1H = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7920

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .