ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87426
Темы:    [ Касательные к сферам ]
[ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны a и b. Найдите полную поверхность параллелепипеда.


Решение


Рассмотрим ортогональную проекцию параллелепипеда и вписанного в него шара радиуса r на плоскость основания. Получим окружность, радиуса r, вписанную в параллелограмм основания. Значит, основание параллелепипеда - ромб. Пусть x - сторона ромба. Проведем радиус окружности в точку касания со стороной ромба. Получим высоту прямоугольного треугольника с катетами, равными a/2 и b/2, проведенную из вершины прямого угла. Поэтому r = ab/(4x). Так как высота параллелепипеда равна диаметру данного шара, а параллелепипед прямой, то боковые ребра параллелепипеда равны 2r. Значит, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна

4x . 2r = 4x . ab/(2x) = 2ab.

Прибавив к найденной площади удвоенную площадь ромба, т.е. ab, получим площадь полной поверхности параллелепипеда:

S = 2ab + ab = 3ab.


Ответ

3ab.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7924

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .