Задача 87426

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны a и b. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Рассмотрим ортогональную проекцию параллелепипеда и вписанного в него шара радиуса r на плоскость основания. Получим окружность, радиуса r, вписанную в параллелограмм основания. Значит, основание параллелепипеда - ромб. Пусть x - сторона ромба. Проведем радиус окружности в точку касания со стороной ромба. Получим высоту прямоугольного треугольника с катетами, равными a/2 и b/2, проведенную из вершины прямого угла. Поэтому r = ab/(4x). Так как высота параллелепипеда равна диаметру данного шара, а параллелепипед прямой, то боковые ребра параллелепипеда равны 2r. Значит, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна

4x ^. 2r = 4x ^. ab/(2x) = 2ab.

Прибавив к найденной площади удвоенную площадь ромба, т.е. ab, получим площадь полной поверхности параллелепипеда:

S = 2ab + ab = 3ab.

Ответ

3ab.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7924