Задача 87430

Темы:    [ Правильная призма ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, составляет угол 30^o с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

Решение

Пусть диагональ CB1 боковой грани BB1C1C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6 и образует угол 30^o с боковой гранью AA1B1B . Обозначим через a сторону основания призмы. Опустим перпендикуляр CM из вершины C на сторону AB основания ABC . Прямая CM перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и AB плоскости грани AA1B1B , поэтому CM – перепендикуляр к этой плоскости, а MB1 – ортогональная проекция наклонной CB1 на эту плоскость. Значит, CB1M – угол прямой CB1 с плоскостью грани AA1B1B . По условию задачи CB1M = 30^o . Из прямоугольного треугольника CB1M находим, что

MB1 = CB1 cos 30^o = 3, = CM = CB1 = 3,
откуда a = 2 . Из прямоугольного треугольника BMB1 находим, что
BB1 = = = 2.
Следовательно,
V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· BB1 = · 2 = 3· 2 = 18.

Ответ

18 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7942