Задача 87436

Темы:    [ Правильная призма ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M ребра AB , точку B1 и точку K , лежащую на ребре AC и делящую его в отношении AK:KC = 1:3 . Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна a , а высота призмы равна 2a .

Решение

Проведём высоту BP равностороннего треугольника ABC . Так как P – середина AC , а K – середина AP , то MK – средняя линия прямоугольного треугольника ABP . Поэтому

MK = BP = · = .
Секущая плоскость пересекает плоскости оснований призмы по параллельным прямым. Если N – точка пересечения секущей плоскости с прямой A1C1 , то B1N || MK . Поэтому B1N || BP . Значит, B1N – высота равностороннего треугольника A1B1C1 и B1N = . Кроме того, прямая B1N перпендикулярна двум пересекающимся прямым A1C1 и AA1 плоскости грани AA1C1C . Поэтому B1N – перпендикуляр к этой плоскости. Значит, B1N NK . Таким образом, сечение MB1NK – прямоугольная трапеция. Высоту NK этой трапеции найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника NPK :
NK = = = .
Следовательно,
S_MB1NK = (B1N + MK)· NK = ( + )· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7948