Задача 87448

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра равно . Найдите радиус шара, поверхность которого касается всех рёбер тетраэдра.

Решение

Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку у полученного параллелепипеда диагонали каждой грани равны и перпендикулярны друг другу, этот параллелепипед – куб. Если ребро тетраэдра равно a , то ребро куба равно . Сфера, вписанная в этот куб, касается всех ребер исходного правильного тетраэдра. Её радиус равен половине ребра куба, т.е. . При a = ребро радиус сферы равен .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7960