Задача 87449

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра равно 4 . Найдите радиус шара, касающего боковых граней тетраэдра в точках, лежащих на сторонах основания.

Решение

Пусть сфера с центром O касается плоскостей граней ABD , BCD и ACD данного правильного тетраэдра ABCD соответственно в точках N , M и K , лежащих на сторонах AB , BC и AC основания ABC . Тогда сечение сферы плоскостью основания ABC есть окружность, вписанная в равносторонний треугольник ABC . Поэтому точки N , M и K – середины сторон основания тетраэдра ABCD . Радиусы ON , OM и OK сферы перпендикулярны плоскостям граней ABD , BCD и ACD соответственно и проходят через середины отрезков AB , BC и AC . Значит, точка O равноудалена от точек A , B и C . Поэтому точка O лежит на прямой DQ , где Q – центр правильного треугольника ABC . Обозначим MDO = ϕ , AB = AD = a . Тогда

DM = AM = , QM = AM = , sin ϕ = = = ,

cos ϕ = = , tg ϕ = = .
Следовательно,
OM = DM tg MDO = · tg ϕ = · = = 4· = 3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7961