ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87452
Темы:    [ Объем круглых тел ]
[ Тела вращения ]
[ Объем тела равен сумме объемов его частей ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ромб, меньшая диагональ которого равна его стороне, равной 1, вращается около прямой, проходящей через конец большей диагонали перпендикулярно этой диагонали. Найдите объём полученного тела вращения.

Решение

Пусть прямая l проходит через вершину D ромба ABCD перпендикулярно большей диагонали BD . Продолжим BA и BC ромба до пересечения с прямой l в точках P и Q соответственно. Пусть M и N – основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек A и C на прямую l . Поскольку меньшая диагональ ромба равна его стороне, ромб разбивается меньшей диагональю на два равносторонних треугольника со стороной 1. При этом AM и CN – высоты равносторонних треугольников APD и CQD . Пусть V1 – объём тела, полученного вращением равностороннего треугольника PBQ относительно прямой l . Тогда V1 равно удвоенному объёму конуса с высотой DP и радиусом основания DB , т.е.

V1 = 2· π · BD2· DP = 2· π · ()2· 1 = 2π.

Пусть V2 – объём каждого из четырёх равных конусов, полученных вращением относительно прямой l прямоугольных треугольников APM , ADM , CQN и CDN . Тогда
V2 = π · AM2· PM = π · ()2· = .

Если V – объём искомого тела вращения, то
V = V1 - 4V2 = 2π - = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7964

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .