Задача 87453

Темы:    [ Конус ] [ Поверхность круглых тел ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Около шара радиуса 1 описан конус, высота которого вдвое больше диаметра шара. Найдите отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.

Решение

Рассмотрим осевое сечение конуса с вершиной A . Получим равнобедренный треугольник ABC с вершиной A , в который вписана окружность, центр O которой совпадает с центром вписанного в конус шара. Пусть M и K – точки касания окружности со сторонами соответственно BC и AB , P – точка пересечения окружности с высотой AM . Ясно, что M – центр основания конуса. Кроме того,

OK = OM = 1, AP = PM = 2, AO = AP + OP = 2 + 1 = 3.
Обозначим ABM = AOK = α . Тогда
cos α = = , sin α = = , tg α = = 2,

BM = = = = ,

AB = = = = 3.
Пусть S – полная поверхность конуса, l – образующая конуса, r – радиус основания, R – радиус шара, s – площадь поверхности шара. Тогда
S = π rl + π r2 = π r(l + r) = π · BM· (AB + BM) = π · (3 + ) = 8π,

s = 4π R2 = 4π · OM2 = 4π.
Следовательно, = = 2 .

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7965