Информация о задаче

Задача 87460

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
Темы:	[	Усеченная пирамида	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 2, а стороны оснований равны 3 и 5. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

Решение

Проведем сечение через противоположные боковые ребра AA₁ и CC₁ данной усеченной пирамиды ABCDA₁B₁C₁D₁ с основаниями ABCD и A₁B₁C₁D₁(AB = 5, A₁B₁ = 3). Пусть O и O₁ - центры оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁соответственно. Секущая плоскость проходит через высоту OO₁ усеченной пирамиды. В сечении получим равнобедренную трапецию AA₁C₁C с основаниями AC = 5 $\sqrt{2}$ и A₁C₁ = 3 $\sqrt{2}$ . Пусть A₁K - высота трапеции. Тогда

A₁K = OO₁ = 2,

AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AC - A₁C₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (5 $\displaystyle \sqrt{2}$ - 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

CK = AC - AK = 5 $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Из прямоугольного треугольника A₁KC находим, что

A₁C = $\displaystyle \sqrt{AK^{2} + CK^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + 32}$ = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7972