Информация о задаче

Задача 87461

Темы:	[	Тела вращения	]
Темы:	[	Объем круглых тел	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.

Решение

Пусть CC₁ и DD₁ - высоты данной равнобедренной трапеции ABCD, опущенные из вершин C и D меньшего основания. Если V₁ - объем цилиндра, полученного вращением прямоугольника DCC₁D₁ вокруг прямой AB, V₂ - объем конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника ADD₁ вокруг катета AD₁, а V - искомый объем, то

V = V₁ + 2^.V₂.

В равнобедренной трапеции ABCD

D₁C₁ = DC = 2, AD₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB - CD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (8 - 2) = 3,

DD₁ = AD₁ = 3.

Поэтому

V₁ = $\displaystyle \pi$ ^.DD²₁^.D₁C₁ = $\displaystyle \pi$ ^.9^.2 = 18 $\displaystyle \pi$ ,

V₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ ^.DD²₁^.AD₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ ^.9^.3 = 9 $\displaystyle \pi$ .

Следовательно,

V = V₁ + 2^.V₂ = 18 $\displaystyle \pi$ + 18 $\displaystyle \pi$ = 36 $\displaystyle \pi$ .

Ответ

36 $\displaystyle \pi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7973