Задача 87473

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Перпендикулярные плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде боковые грани DBC и DCA взаимно перпендикулярны и представляют собой равные равнобедренные треугольники с основанием CD = 2 и боковой стороной, равной . Найдите ребро AB , а также площади тех сечений пирамиды, которые являются квадратами.

Решение

Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной A и основанием BCD . Пусть AM – высота равнобедреного треугольника ADC . Тогда M – середина CD и

AM = = = 3.
Поскольку плоскость грани ADC перпендикулярна плоскости основания BCD , прямая AM перпендикулярна плоскости основания. Поэтому AM – высота пирамиды ABCD . Медиана BM равнобедренного треугольника BCD является его высотой. Прямая BM есть ортогональная проекция наклонной AB на плоскость основания пирамиды. Так как BM CD , то по теореме о трёх перпендикулярах AB CD . Из прямоугольного треугольника BCM находим, что
BM = = = 3.
Следовательно,
AB = = = 6.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, пересекающей рёбра AC , BC , BD и AD в точках P , Q , R и T соответственно. Предположим, что PQ || RT . Тогда через параллельные прямые PQ и RT проходят две плоскости ABC и ABD , пересекающиеся по прямой AB . Значит, прямые PQ и RT параллельны прямой AB . Аналогично, если PT || QR , то прямые PT и QR параллельны прямой CD . По доказанному ранее AB CD . Поэтому, если плоскость, пересекающая рёбра DB , BC , AC и AD , в сечении с данной пирамидой даёт параллелограмм, то этот параллелограмм – прямоугольник. Обозначим = k . Тогда
RQ = kCD = 2k, RT = (1 - k)AB = 6(1 - k).
Из уравнения 2k = 6(1 - k) находим, что k = . Значит, если указанное сечение является квадратом, то RQ = RT = . Площадь такого сечения равна . Предположим теперь, что секущая плоскость пересекает рёбра DC , DB , AC и AB , причём в сечении получился параллелограмм. Аналогично предыдущему докажем, что одна пара противоположных сторон параллелограмма параллельна ребру AD , а вторая – ребру BC . Значит, если бы в сечении получился прямоугольник, то противоположные рёбра AD и BC данной пирамиды были бы перпендикулярны. Докажем, что это не так. Предположим, что AD BC . Так как прямая CD есть ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания пирамиды, то по теореме о трёх перпендикулярах CD BC , что невозможно ( DCB < 90^o как угол при основании равнобедренного треугольника) . Аналогично, в сечении пирамиды ABCD плоскостью, пересекающей рёбра CD , BC , AD и AB , также не может получиться квадрат.

Ответ

6; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7985