Условие
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
ABC с
основанием
AC = 2
и боковой стороной
. Грань
ACD
перпендикулярна плоскости основания и представляет собой правильный
треугольник. Найдите ребро
BD , а также площади всех тех сечений
пирамиды, которые являются квадратами.
Решение
Пусть
DM – высота равностороннего треугольника
ADC .
Тогда
M – середина
AC и
DM = AD· 
= 
.
Поскольку плоскость грани
ADC перпендикулярна плоскости
основания
ABC , прямая
DM перпендикулярна плоскости основания.
Поэтому
DM – высота пирамиды
ABCD . Медиана
BM равнобедренного
треугольника
ABC является его высотой. Прямая
BM есть ортогональная
проекция наклонной
DB на плоскость основания пирамиды. Так как
BM 
AC , то по теореме о трёх перпендикулярах
DB AC .
Из прямоугольного треугольника
ACM находим, что
BM = 
= 
= 
.
Следовательно,
BD = 
= 
= 3.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, пересекающей рёбра
AB ,
CB ,
CD и
AD в точках
P ,
Q ,
R и
T соответственно. Предположим,
что
PQ || RT . Тогда через параллельные прямые
PQ и
RT проходят две
плоскости
ABC и
ADC , пересекающиеся по прямой
AC .
Значит, прямые
PQ и
RT параллельны прямой
AC . Аналогично докажем,
что если
PT || QR , то прямые
PT и
QR параллельны прямой
BD . По
доказанному ранее
AC BD . Поэтому, если плоскость,
пересекающая рёбра
AB ,
CB ,
CD и
AD , в сечении с данной пирамидой
даёт параллелограмм, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Обозначим
= k . Тогда
PQ = kAC = 2k, PT = (1 - k)BD = 3(1 - k).
Из уравнения
2
k = 3(1
- k ) находим, что
k = 
. Значит, если
указанное сечение является квадратом, то
PQ = PT = 
. Площадь
такого сечения равна
.
Предположим теперь, что секущая плоскость пересекает рёбра
AC ,
AB ,
DC и
DB , причём в сечении получился параллелограмм. Аналогично
предыдущему докажем, что одна пара противоположных сторон
параллелограмма параллельна ребру
AD , а вторая – ребру
BC . Значит,
если бы в сечении получился прямоугольник, то противоположные рёбра
AD и
BC данной пирамиды были бы перпендикулярны. Докажем, что это
не так.
Предположим, что
AD BC . Так как прямая
AC есть ортогональная
проекция наклонной
AD на плоскость основания пирамиды, то по
теореме о трёх перпендикулярах
AC BC , что невозможно (
ACB <
90
o )
.
Аналогично докажем, что в сечении пирамиды
ABCD плоскостью,
пересекающей рёбра
CA ,
CB ,
DA и
DB , также не может получиться
квадрат.
Ответ
3;
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7988 |
