Задача 87477

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна S . Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Двугранные углы при катетах её основания равны α и β . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть основанием треугольной пирамиды ABCD является прямоугольный треугольник ABC с катетами BC = a и AC = b , а двугранные углы при рёбрах AC и BC равны α и β соответственно. Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота DO проходит через центр O окружности, описанной около основания ABC . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Поэтому точка O – середина отрезка AB . Пусть M и K – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на BC и AC соответственно. Тогда OM и OK – средние линии треугольника ABC . Поэтому

OM = AC = , OK = BC = .
По теореме о трёх перпендикулярах DM BC и DK AC , поэтому OMD и OKD – линейные углы двугранных углов при рёбрах BC и AC . По условию задачи OMD = β и OKD = α . Из прямоугольных треугольников OMD и OKD находим, что
OD = OM tg β, OD = OK tg α.
Перемножив почленно эти равенства, получим:
OD2 = OM· OK tg α tg β = ab tg α tg β = S tg α tg β,
откуда
OD = = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· OD = · S· = S.

Ответ

S .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7989