ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87477
Темы:    [ Касательные к сферам ]
[ Двугранный угол ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна S . Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Двугранные углы при катетах её основания равны α и β . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть основанием треугольной пирамиды ABCD является прямоугольный треугольник ABC с катетами BC = a и AC = b , а двугранные углы при рёбрах AC и BC равны α и β соответственно. Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота DO проходит через центр O окружности, описанной около основания ABC . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Поэтому точка O – середина отрезка AB . Пусть M и K – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на BC и AC соответственно. Тогда OM и OK – средние линии треугольника ABC . Поэтому

OM = AC = , OK = BC = .

По теореме о трёх перпендикулярах DM BC и DK AC , поэтому OMD и OKD – линейные углы двугранных углов при рёбрах BC и AC . По условию задачи OMD = β и OKD = α . Из прямоугольных треугольников OMD и OKD находим, что
OD = OM tg β, OD = OK tg α.

Перемножив почленно эти равенства, получим:
OD2 = OM· OK tg α tg β = ab tg α tg β = S tg α tg β,

откуда
OD = = .

Следовательно,
VABCD = SΔ ABC· OD = · = S.


Ответ

S .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7989

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .