Задача 87582

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD грань ABC – правильный треугольник со стороной a , AD = BD = CD = b . Найдите косинус угла, образованного прямыми AD , BD и CD с плоскостью ABC .

Решение

Поскольку боковые рёбра AD , BD и CD пирамиды ABCD равны между собой, высота DO пирамиды проходит через центр O окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC , т.е. через центр этого треугольника. Поэтому

OA = · = .
Так как DO – высота пирамиды, то OA – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость ABC . Значит, OAD – угол прямой AD с плоскостью ABC . Из прямоугольного треугольника AOD находим, что
cos OAD = = = .
Прямые BD и CD образуют с плоскостью ABC такие же углы.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8185