Пусть прямая p перпендикулярна плоскости π . Докажите, что углы, образованные произвольной прямой l с плоскостью π и прямой p , дополняют друг друга до 90^o .

   Решение

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости π . Докажите, что углы, образованные произвольной прямой l с плоскостью π и прямой p , дополняют друг друга до 90^o .

Решение

Если прямая l также перпендикулярна плоскости π , утверждение очевидно. Пусть прямая l не перпендикулярна плоскости π и пересекает эту плоскость в точке A . На прямой l возьмём произвольную точку B , отличную от A . Пусть B1 – ортогональная проекция точки B на плоскость π . Тогда прямые BB1 и p параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости π . Кроме того, AB1 – ортогональная проекция прямой l на плоскость π . Поэтому BAB1 – угол прямой l с плоскостью π , а ABB1 – угол между прямыми p и l . Из прямоугольного треугольника ABB1 видно, что

BAB1 + ABB1 = 90^o.

Источники и прецеденты использования